Contents

Subsections

• Filtrage numérique
• Création des filtres
• Définition d'un filtre
• Utilisation des filtres
• Application au filtrage d'harmoniques
• Application à la réduction de bruit
• Analyse spectrale par TFD
• Influence de la taille de la fenêtre d'observation
• Fenêtre d'analyse
• Résolution Fréquentielle de la TFD

TP 4 : Filtrage et Analyse spectrale

Les programmes nécessaires pour ce TP sont disponibles à l'adresse :

    http://www.univ-lemans.fr/~s973476/filtres/filtres.zip

Filtrage numérique

Création des filtres

Le filtrage est une opération inhérente à tout système physique. Le passage au numérique ne se fait toutefois pas sans quelques problèmes d'échantillonnage car la numérisation des filtres se fait souvent avec une perte des propriétés des filtres. C'est pourquoi il existe de nombreuses méthodes de conception de filtres numériques. Nous n'allons pas voir ici ces techniques en détails mais juste en utiliser une: la méthode de Remez qui permet d'obtenir la réponse impulsionnelle de filtres de longueur finie.

La méthode de Remez voit le problème de synthèse d'un filtre comme un problème d'approximation d'une fonction contenue dans le gabarit par un pôlynome. Cette méthode est la plus utilisée en synthèse de filtres RIF car elle fait partie du domaine public et est souvent intégrée dans les logiciels de traitement du signal.

Définition d'un filtre

un filtre est défini par son gabarit. Le gabarit d'un filtre est constitué des limites de tolérance pour les différentes éléments du filtre, à savoir :

• La fréquence de coupure, $F_c$,
• L'atténuation dans la bande coupée, en dB, ${\text{Att}}_{dB}$,
• L'ondulation dans la bande passante, en dB, $\Delta_{ond}$,
• La largeur de la bande de transition, située entre la fréquence de coupure et la zone atténuée, car la coupure d'un filtre n'est jamais parfait, $\Delta_{f \text{trans}}$.

Il peut y avoir plusieurs fréquences de coupures dans le cas de filtres autres que passe-haut ou passe-bas. La figure ci-dessous illustre les différentes notations de gabarit suivant les filtres. Les fonctions passebas, passehaut et passebande génèrent la réponse impulsionnelle des filtres, par la méthode de Remez, correspondant à un gabarit qui vous sera demandé. L'ordre du filtre correspond à la longeur de la RI moins 1. Il est proportionnel à la complexité du filtre.

Il est important de distinguer la réponse impulsionnelle d'un filtre, sa réalisation temporelle, qui sert à l'opération de filtrage par convolution, du gabarit, qui indique les limites fréquentielles que doit respecter le filtre. La réponse fréquentielle du filtre, obtenue par transformée de Fourier de sa RI, doit donc être contenue dans le gabarit pour que le filtre soit utilisable à bon essient. Il arrive aussi qu'un filtre ne rentre pas dans le gabarit désiré, si la méthode diverge. Il faut donc vérifier les réponses fréquentielles de vos filtres après utilisation des fonctions passebas, passehaut et passebande.

Utilisation des filtres

L'opération de filtrage est réalisée par convolution de la RI du filtre avec le signal que l'on veut filtrer. En numérique la convolution induit un décalage de l'ordre du filtre. Il correspond en analogique au temps de réponse du filtre.

La convolution correspond à une multiplication du spectre du signal par celui du filtre, ou encore en dB, après passage au logarithme à la addition de la réponse fréquentielle au spectre du signal. En effet

$$* \quad \iff \quad TF_{\text{Signal}} \times TF_{ \text{Filtre}} ,\text{ soit en dB : } \log(TF_{\text{Signal}}) + \log(TF_{\text{Filtre}}).$$ (4.1)

La convolution est réalisée sous Matlab par la fonction conv. À titre d'exemple :

• Pour une fréquence d'échantillonnage de 8kHz, créez un filtre passe bas de fréquence de coupure $F_c = 1kHz$ de largeur de bande de transition $\Delta_{\text{f \text{trans}}} = 200Hz$, ayant une ondulation dans la bande passante $\Delta_{ond}= 1dB$ et une atténuation dans la bande coupée ${\text{Att}}_{dB} = 40 dB$.
• Dessinez le gabarit.
• Visualisez la réponse impulsionnelle du filtre et assurez vous que sa réponse fréquentielle est bien dans le gabarit.
• Filtrer deux signaux sinusoïdaux de fréquences respectives inférieure et supérieure à $F_c$. Quel est l'effet du filtre sur ces signaux ?
• Mesurez sur l'allure temporelle des signaux filtrés le décalage induit par le filtre numérique. Comparez ce décalage par rapport à la longueur du filtre utilisé. Le décalage varie-t-il pour les 2 fréquences, est-ce qu'il y a un déphasage comme pour un filtre RC du premier ordre ?
• Quelle partie utile du signal filtré de même longueur que le signal original peut-on garder ?

Application au filtrage d'harmoniques

La distortion harmonique est une forme de distortion courante en musique. Elle consiste à ajouter des harmoniques - des fréquences multiples de la fréquence fondamentale - au signal de départ.

• Ajoutez à un signal sinusoïdal pur ses 5 premières harmoniques impaires, de même amplitude. $F_e$ étant fixé à $8kHz$, choisissez une valeur de$f_0$ adéquate. Visualiser la forme d'onde et le spectre du signal.
• Réalisez les filtres adéquats pour extraire les composantes correspondant à :
• La fréquence fondamentale (harmonique 1),
• L'harmonique 5,
• L'harmonique 11.
Les filtres seront réalisés à l'aide des fonctions passebas,passebande et passehaut, basées sur la méthode de remez.
• Réalisez le filtrage à l'aide de la fonction conv.
• Visualisez les signaux filtrés et leur spectre.
• Notez les amplitudes des signaux filtrés, et interprétez leurs valeurs.

Application à la réduction de bruit

Le filtrage sert aussi à des applications d'égalisation, c'est-à-dire de pondération relative d'une partie du spectre par rapport à une autre. Typiquement, le réglage tone d'une chaîne Hi-Fi est un filtre passe bande dont on fait varier la fréquence centrale.

Ici, on veut rehausser une composante sinusoïdale noyée dans le bruit. Un bruit blanc à un spectre étalé sur toute la bande fréquentielle tandis qu'un sinus à un spectre très concentré.

• Générez une sinusoïde de fréquence 1000 Hz échantillonnée à 10kHz.
• Ajoutez du bruit au signal précédent de manière à obtenir un RSB de 10 dB.
• Comment doit-on choisir le gabarit du filtre pour atténuer le bruit ?
• Réalisez le filtrage et comparez les spectres et allures temporelles du signal bruité et du signal débruité.

Analyse spectrale par TFD

On désire voir ici différents effets de la TFD en terme de précision d'analyse et de résolution fréquentielle. Un algorithme de transformée de Fourier rapide est réalisé par la fonction fft. Cet algorithme est particulièrement rapide lorsque la taille des signaux analysés est une puissance de 2 (64, 128, 256, 512, 1024, 2048, ...). On prendra donc soin de travailler sur des signaux dont la longueur est une puissance de 2.

Influence de la taille de la fenêtre d'observation

Il est possible d'appliquer la TFD sur la globalité ou sur une partie d'un signal de longueur $N$. La partie analysée est appelée fenêtre d'observation. Pour un même signal sinusoïdal échantillonné à 1kHz de fréquence 100 Hz et de longueur 512 points, on va observer le module de la FFT (sans le logarithme) sur des fenêtres dont la longueur varie. Le résultat à mettre en évidence est que la précision fréquentielle augmente avec la taille la fenêtre.

• Pour des tailles de fenêtres de 16,128 et 256 points, donnez à chaque fois la largeur du lobe principal.
• Vérifiez que le produit de la largeur du lobe principal par la durée d'observation est constant.

Fenêtre d'analyse

Une fenêtre d'analyse est une enveloppe que l'on donne au signal avant de l'analyser par TFD. Leur but est de réduire les lobes secondaires pour que le spectre observé tende vers le résultat théorique qui est pour une sinusoïde une raie pure à la fréquence. Les analyseurs de spectre propose de nombreuses fenêtres d'analyse, qui ont chacune de effets différents (Hanning, Hamming, Blackman,...).

Observez l'influence du fenêtrage sur l'allure du spectre, notamment au niveau des lobes secondaires et de la largeur du lobe principal. Pour cela comparer sur les spectres en dB les effets d'une fenêtre de Hanning et d'une fenêtre de Blackman. Ces deux fenêtres sont réalisées par les fonctions hanning et blackman et le fenêtrage est réalisé en multipliant les formes de fenêtres terme à terme avec le signal.

Résolution Fréquentielle de la TFD

La résolution fréquentielle de la TFD d'un signal est définie par le nombre de points d'analyse $N$ et la fréquence d'échantillonnage du signal $F_e$ par la formule :

$$= \frac{F_e}{N}$$ (4.2)

On veut voir ici les limites de l'analyse au niveau de la détection de sinusoïdes proches. Cette notion est importante lors de l'analyse de vibrations de systèmes mécaniques ayant des modes proches.

• Générez un signal échantillonné à 1kHz de 1024 points, constitué de 2 sinusoïdes d'amplitudes égales et de fréquences respectives 100 Hz et 105 Hz.
• Déterminez expérimentalement la durée d'observation en dessous de laquelle on ne peut plus séparer les lobes principaux des deux composantes.
• Que vaut la longueur théorique $N_{min}$ qui ne permet pas de séparer ces 2 raies ?
• Obtient-on un meilleur résultat en doublant simultanément la fréquence d'échantillonnage et la taille de la TFD ?
• Quel serait le choix le plus économique en terme de longueur de signaux et de fréquence d'échantillonnage pour effectuer une mesure d'une plaque vibrante sur la zone de fréquence $[0,500Hz]$ et qui aurait des modes à $100Hz$ et $105Hz$ que l'on souhaite distinguer ?