TP 3 : Notions de signal numérique

Ce TP a pour but de présenter les notions simples de traitement numérique du signal en terme d'échantillonnage et d'analyse spectrale, au travers de la transformée de Fourier discrète et des problèmes de repliement de spectre.

Génération de signaux

Rappel sur les signaux numériques

Un signal numérique est défini par un nombre d'échantillons N relevés à une fréquence d'échantillonnage Fe. Les signaux sont toujours captés de manière temporelle, mais on s'intéresse souvent à leur allure fréquentielle.

Afin de rester cohérents avec les mesures, il est important de respecter les grandeurs physiques impliquées dans le signal. Il faut donc définir les axes temporels et fréquentiels relatifs au signal.

Ainsi. les axes seront définis comme suit:

• L'axe temporel est un vecteur de N points espacés de $\frac{1}{F_e}$. Sous Matlab, la syntaxe est :

          axe_temps = (0:N-1)/Fe;
  

• L'axe fréquentiel est un vecteur de N points compris entre 0 et $F_e$. La syntaxe est :

          axe_freq = (0:N-1)*Fe/N;
  

Signal harmonique

On désire créer 2 signaux de longueurs $N=1024$, échantilloné à $F_e = 8kHz$, constitués d'une fréquence fondamentale $f_0 = 50Hz$ et des 4 premières harmoniques respectivement paires ( $2.f_0, 4.f_0,...$) et impaires ( $3.f_0, 5.f_0,...$), ayant des amplitudes différentes. Pour cela :

• Générez deux matrices de taille $(5\times N)$ dont chaque ligne contient une harmonique du signal voulu, c'est-à-dire un signal sinusoïdal à la fréquence multiple considérée.
• Que se passe-t-il si l'on multiplie cette matrice par une matrice diagonale de taille $(5\times 5)$ :

  $$\begin{array}{\vert ccccc\vert} A_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & A... ...s & \ldots & 1 \ 1 & 1 & \ldots & \ldots & 1 \end{array} = ??$$ (3.1)

  
  
  En déduire une méthode pour multiplier chaque ligne de la matrice par la valeur de l'inverse de l'harmonique correspondante ( $1, \frac{1}{2},\frac{1}{4}, ...$). La fonction diag permet de générer une matrice diagonale.
• À l'aide de la fonction sum ajoutez les lignes entre elles pour obtenir les signaux demandés.
• À quel type de signaux connus pouvez vous comparer les signaux générés ?

Ajout de Bruit

Le bruit étant présent dans toute mesure, il est important de savoir simuler des signaux bruités afin de vérifiez la pertinence des méthodes d'analyse. Un bruit blanc gaussien, qui représente le modèle le plus fréquent de bruit de mesure est généré sous matlab par la fonction randn. Cette fonction permet de générer une matrice ou un vecteur aléatoire dont les éléments correspondent à un bruit blanc, au sens où ils ne sont pas corrélés entre eux (il n'y a pas de lien entre deux échantillons). L'amplitude du bruit est simplement fixée par un coefficient multiplicateur.

Le rapport signal à bruit (RSB) est une quantité mesurée en dB qui donne un indice de la puissance du signal par rapport à celle du bruit. Il est mesuré par la formule :

$$RSB = 10*log10 ( \frac{ \text{Energy}_{\text{signal}}}{ \text{Energy}_{\text{bruit}} } )$$ (3.2)

L'énergie est mesurée sous Maltab par le carré de la fonction std. L'énergie est aussi appelée variance pour les signaux aléatoires, telle que le bruit. Dans le cas du bruit blanc gaussien, son énergie est à peu près égale au carré de son amplitude.

Un $RSB$ positif signifie que le signal est plus énergétique que le bruit. Pour un $RSB = 0$, il y a autant de bruit que de signal et pour les valeurs négatives du $RSB$, on dit que le signal est dégradé.

• Générez un sinus de fréquence 100Hz, d'amplitude 1, échantillonné à $F_e = 5kHz$, de longeur $N=512$ points.
• Observez son allure temporelle.
• Quelle est l'énergie du sinus, quelle amplitude de bruit faut-il ajouter pour avoir un $RSB = 0 dB$ ?
• Augmentez l'amplitude du bruit jusqu'à ne plus distinguer le signal sinusoïdal et notez la valeur du $RSB$ correspondant.

Visualisation de spectres

Transformée de Fourier Discrète et rapide (FFT)

Afin d'obtenir le spectre des signaux, on leur applique une transformée de Fourier Discrète, qui fournit une approximation du spectre du signal.

L'algorithme de FFT calcule la Transformée de Fourier Discrète des signaux de manière rapide si les séquences de signaux sont de longueurs une puissance de 2. Aussi on prendra soin de travailler sur des signaux de longueurs des puissances de 2, c'est-à-dire 64, 128, 256,..., 8192, ...

On prendra soin de tracer les spectres en dB et de graduer les abscisses en fonction de la fréquence d'échantillonnage. La conversion en dB d'un spectre se fait par

$$20 . \log_{10} ( \vert FFT( )\vert )$$ (3.3)

Reprenez les exemples précédents et observez les spectres des différents signaux que vous avez générés :

• Comparer le spectre du signal constitué des harmoniques impaires avec le spectre d'un signal carré de même fréquence, généré à l'aide de la fonction square (voir l'aide). Retrouvez vous un résultat connu de la Transformée de Fourier d'un signal carré ?
• Lorsque le $RSB$ est suffisamment faible pour que l'on ne distingue plus l'allure temporelle du signal, observe-t-on toujours un pic correspondant à la fréquence du signal dans le domaine frequentiel ?

Modulation/Démodulation d'un signal par une fréquence porteuse

La modulation de fréquence (FM) est un type de modulation très utilisé en radio pour transmettre les signaux audios par les voies hertziennes. De manière simplifiée elle consiste à multiplier le signal d'origine par un signal sinusoïdal à une fréquence dite porteuse $f_p$.

Une hypothèse de la modulation en général stipule que le signal à moduler a sa fréquence maximale $f_{max} < \frac{f_p}{2}$, afin d'éviter tout problème lié au repliement (pour la radio FM par exemple la porteuse est de fréquence $88MHz < f_p < 108MHz$ pour un signal audio compris entre 0 et $20kHz$). La démodulation est effectuée comme la modulation, en remultipliant le signal par la fréquence porteuse. Cela revient à faire deux translations spectrales car le signal modulé se retrouve centré en $f_p$ et la seconde opération ramène le signal démodulé autour de 0. Les équations ci-dessous montrent cet effet de translation pour une sinusoïde de fréquence $f_{max}$. Le signal modulé est constitué des fréquences :

$$S_{\text{modulé}} = sin(2 \pi f_{max} . t) * cos(2 \pi f_p . t)$$ (3.4)

$$= \frac{1}{2} \lbrack sin(2 \pi (f_{max}+f_p) . t) + sin(2 \pi (f_{max}-f_p) . t) \rbrack$$ (3.5)

Et le signal démodulé prend l'expression :

$$S_{\text{démodulé}} = S_{\text{modulé}} * cos(2 \pi f_p . t)$$ (3.6)

$$= sin(2 \pi f_{max} . t) * \lbrack cos(2 \pi f_p . t) \rbrack^2$$ (3.7)

$$= \frac{1}{2} \lbrack sin(2 \pi f_{max} . t) + \frac{1}{2} ( sin(2 \pi (f_{max}+2.f_p) + sin(2 \pi (f_{max}-2.f_p)) \rbrack$$ (3.8)

• Générez un sinus de fréquence 50Hz échantillonné à 8kHz sur 512 points.
• Modulez le par un cosinus de fréquence fréquence porteuse 2500Hz (multiplication terme à terme).
• Démodulez le et comparez les spectres des 3 trois signaux.
• Le signal démodulé est-il égal au signal original ? Expliquez et proposez une solution pour récupérer le signal original.

Échantillonnage et mise en évidence du repliement spectral

Les signaux numériques sont conditionnés par le théorème de Shannon, qui stipule que les fréquences qui les composent ne peuvent en aucun cas dépasser $\frac{F_e}{2}$ pour les signax réels et $Fe$ pour les signaux complexes.

Le repliement spectral (aliasing en anglais) se manifeste lorsqu'un signal échantillonné à la cadence $T_e = \frac{1}{F_e}$ - $F_e$ est la fréquence d'échantillonnage - présente des composantes de fréquence supérieure à la fréquence de Shannon, soit $\frac{F_e}{2}$. Pour les signaux réels, toutes les fréquences situées au dessus de $\frac{F_e}{2}$ se replient, c'est-à-dire qu'elles ne sont pas perdues mais réapparaissent dans la zone $[0,\frac{F_e}{2}]$.

L'exemple suivant a pour but de vous faire prendre conscience du phénomène de repliement.

• Générez un signal sinusoïdal échantillonné à $F_e = 100 Hz$ de fréquence $f_0$ inférieure à $\frac{F_e}{2}$,
• Augmentez la fréquence $f_0$ de la sinusoïde de manière à dépasser $\frac{F_e}{2}$. En observant le spectre du signal, donnez la fréquence réelle $f_r$ de ce signal. Que se passe-t-il lorsque $f_0 = \frac{F_e}{2}$ ?
• Donnez une expression de la fréquence réelle $f_r$ en fonction de la fréquence voulue $f_0$ et de $F_e$.
• Expliquez à l'aide d'un schéma ce qui se passe quand $f_0$ dépasse $\frac{F_e}{2}$.